Родился в 1959 году в Москве. Закончил мехмат МГУ (1981) и Литинститут (1989). Прозу начал писать в 1982 году, стихи, после большого перерыва, – в 1996-м. Работал преподавателем математики и литературы в школах и вузах, инженером, журналистом. Эксперт премии «Дебют» по малой прозе.
Имеет более 50 публикаций художественных текстов («Знамя», «Дружба народов», «Октябрь», «Арион», «Воздух», «Огонек», «Новый мир» и др.), более 500 публикаций статей. Леонид Костюков публиковался на Украине, в США, в Израиле, во Франции, в Сербии. Лауреат премии «Дружбы народов» и сетевой премии «Улов» за лучший рассказ года. Шорт-лист премии им. Казакова и премии «Московский счет». Лонг-лист «Букера» (дважды). Был членом жюри нескольких литературных премий («Дебют», «Тенёта», им. Казакова), вел мастер-классы по поэзии и прозе в Москве, Тольятти, С-Петербурге, Новосибирске, Ростове-на-Дону, Таганроге, Одессе, Перми, Вологде. Леонид Костюков — составитель двухтомной антологии современной поэзии и электронных антологий современной поэзии и малой прозы. Любимые писатели: Стивенсон, Чехов, Трифонов, Воннегут, Фриш. Любимый поэт – Георгий Иванов.
Книги: «Он приехал в наш город» (стихи, проза, эссе, 1998), «Великая страна» (роман, 2002), «Журналистика мнений» (учебник, 2004), «Просьба освободить вагоны» (рассказы и повести, 2005), «Снег на щеке» (стихотворения, 2009), «Великая страна / Мэгги» (романы, 2009), «Последний шпион» (роман, 2014), «Логика: доказательство и мышление» (учебник, 2014).